2. Решение некоторых геодезических задач на  плоскости.

2.2. Обратная геодезическая задача. 

Обратная геодезическая задача состоит в том, что по известным  координатам конечных точек линии AP вычисляют дирекционный угол и горизонтальное проложение этой линии, т.е. известны X_A, Y_A, X_P, Y_P, необходимо определить ɑ_AP  и S_AP.

Задача решается двумя способами, но в любом случае предварительно необходимо вычислить приращения координат, следуя правилу:  приращение координат равно разности координат конечной и начальной точек линии.

Если необходимо вычислить дирекционный угол направления  AP, то точка А – начальная, а точка Р – конечная. Тогда приращения координат вычисляют по формулам:

ΔX_AP=X_P-X_A;

ΔY_AP=Y_P-Y_A.                                                                                                                                                                                                    (2.3)

Если же необходимо вычислить дирекционный угол направления , то точка Р - начальная, а точка А - конечная. Тогда приращения координат вычисляют по формулам:

ΔX_PA=X_A-X_P;

ΔY_PA=Y_A-Y_P.                                                                                                                                                                                                     (2.4)

Естественно, что длина линии S_AP = S_PA не зависит от выбора направления.

Вычисления по формулам (2.3) и (2.4) бесконтрольные, поэтому приращения необходимо вычислять с особым вниманием. 

Первый способ:

Вначале вычисляют дирекционный угол по формуле

      (2.5) 

Для однозначного определения дирекционного угла следует учитывать знаки приращений координат. Соотношения между величиной дирекционного угла, названием румба и знаками приращений приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1

Соотношение между величиной дирекционного угла, названием румба и знаками приращений координат

Горизонтальное проложение вычисляют по формулам:

  (2.6)

Сходимость результатов вычисления S_AP  контролирует вычисление дирекционного угла и горизонтального проложения, но не контролирует вычисление приращений. 

Второй способ. 

По вычисленным приращениям координат вычисляют горизонтальное проложение

(2.7).

Далее дважды вычисляют дирекционный угол

(2.8). 

Указание. При вычислениях обратите внимание на знаки приращений, которые помогут Вам правильно определить название румба и, соответственно, величину дирекционного угла. 

Пример решения обратной  геодезической задачи:

Точки  А и В имеют соответственно координаты: X_A = 1254,27 м; Y_A = 458,52 м, и X_B = 2067,81 м; Y_B = 203,38 м.

Вычислить дирекционный угол и длину линии АВ.

Решение.

Вычисляем приращения координат, вычитая из координат конечной точки В  координаты начальной точки А.

ΔX_AB = X_B - X_A = 2067,81 - 1254,27 = + 813,54 м;

ΔY_AB = Y_B - Y_A = 203,38 - 458,52 = + 255,14 м.

Сочетание знаков (+ ; -), следовательно, название румба – СЗ, и дирекционный угол будет иметь значение в пределах 270° < ɑ_AB < 360°.

Первый способ:

Вычисляем тангенс румба, учитывая абсолютные значения приращений, т.к. по знакам приращений уже определено название румба.

Этому значению тангенса соответствует угол в первой четверти, равный 17° 24,7'. Следовательно, румб линии АВ будет равен r_AB = СЗ:17° 24,7' , а дирекционный угол - ɑ_AB = 342° 35,3'.

Далее вычисляем с контролем длину линии АВ:

Расхождения в значениях расстояний произошло за счет округления значения румба до десятых долей минуты. Допустимое расхождение может быть 0,05м. В этом случае наиболее правильный ответ получают по наибольшему по абсолютной величие значению тригонометрической функции. В данном примере  - по значению cosɑ, т.е. окончательный ответ S_AB = 852,61 м.

Второй способ:

Вычисляем длину линии АВ.

. Вычисляем с контролем румб линии АВ, используя абсолютные значения приращений, т.к. название румба установлено.

Дирекционный угол линии АВ равен ɑ_AB = 342° 35,3'. 

Задачи для устного решения.

1. Точки  А и В имеют соответственно координаты: X_A = 400,00 м; Y_A = 400,00 м; X_A = 400,00 м; Y_A = 400 м,  и X_B = 200,00 м; Y_B = 600,00 м.

 Вычислить дирекционный угол и длину линии АВ.

 2.  Точки  А и В имеют соответственно координаты: X_A = 400,00 м; Y_A = 400,00 м, и X_B = 600,00 м; Y_B = 200,00 м.

 Вычислить дирекционный угол и длину линии АВ.

3. Точки  А и В имеют соответственно координаты: X_A = 400,00 м; Y_A = 400,00 м, и X_B = 400,00 м; Y_B = 600,00 м.

 Вычислить дирекционный угол и длину линии АВ.

4. Точки  А и В имеют соответственно координаты: X_A = 400,00 м; Y_A = 400,00 м, и X_B = 200,00 < м; Y_B = 400,00м.

 Вычислить дирекционный угол и длину линии ВА.

5. Точки  А и В имеют соответственно координаты: X_A = 400,00 м; Y_A = 400,00 м, и X_B = 200,00 м; Y_B = 600,00 м.

 Вычислить дирекционный угол и длину линии ВА.

 6.  Точки  А и В имеют соответственно координаты: X_A = 400,00 м; Y_A = 400,00 м, и X_B = 600,00 м; Y_B = 200,00 м.

 Вычислить дирекционный угол и длину линии ВА.

7. Точки  А и В имеют соответственно координаты: X_A = 400,00 м; Y_A = 400,00 м, и X_B = 600,00 м; Y_B = 600,00 м.

 Вычислить дирекционный угол и длину линии ВА.

8. Точки  А и В имеют соответственно координаты: X_A = 400,00 м; Y_A = 400,00 м, и X_B = 200,00 м; Y_B = 400,00 м.

 Вычислить дирекционный угол и длину линии ВА. 

Задание.

1. Сравнить результаты решения 1 и 5, 2 и 6, 3 и 7, 4 и 8 задач. Сделать соответствующие пояснения по результатам сравнения.

2. На листе бумаги построить геодезическую прямоугольную систему координат. Нанести точки с координатами, заданными в условиях задач 1 – 8. Показать на чертеже искомые дирекционные углы для каждой задачи.

Задачи для решения с калькулятором

1.Точки А и В имеют соответственно координаты: X_A = 1478,10 м; Y_A=2327,91 м, и X_B = 747,21м; Y_B=3277,18 м.

 Вычислить дирекционный угол и длину линии ВА.

2. На местности имеются две точки А и В с координатами: x_A = 1278,98 м; y_A = 1417,10 м, и x_B = 921,55; y_B = 2433,03 м. В точке А измерен левый по ходу угол <BAK = β_A=103°17' 25'' и расстояние S_AK=674,27 м. Вычислить координаты  точки К.

Указание: Для облегчения решения задачи сделайте чертеж, на котором покажите оси координат, в произвольном масштабе расположите исходные точки, покажите дирекционный угол исходного направления, измеренный угол и дирекционный угол направления на определяемую точку. По чертежу определите знаки приращений координат.