5. Методы и приборы для геодезических измерений на местности.

5.13.Общие сведения о погрешностях результатов измерений.

5.13.1. Погрешности результатов измерений.

Как показывает огромнейшая практика геодезических измерений, при повторных измерениях одной величины, выполненных в одних и тех же условиях, получают результаты измерений, несколько отличающиеся друг от друга.  В чем причина таких расхождений?

Рассмотрим пример. Ниже приведены результаты девятикратного измерения угла, выполненные при одинаковых условиях:   72°13'38",3; 72°13'44"6; 72°13'33",7; 72°13'41",1;  72°13'43",0; 72°13'36",2; 72°13'39",9;  72°13'37",8; 72°13'40",3.

Результаты измерений отражают свойство, присущее  измеряемому углу, т.е. свойство, определенное ранее как размер физической величины. Это выражается в постоянстве измеренных значений градусов  и минут. Но, в то же время, каждый из результатов измерения имеет свою индивидуальную особенность, связанную с погрешностью  этого результата измерений, что выражено в изменчивости значений секунд и десятых долей секунд измеренного угла.

Рассмотренный выше пример указывает на то, что каждый результат измерения, с одной стороны, отражает объективно существующие свойства измеряемой величины и несет объективные особенности процесса измерений, но с другой -  имеет индивидуальные особенности каждого конкретного измерения. Эти индивидуальные особенности и отличают каждый результат повторного измерения от всех прочих. Таким образом, каждый результат измерения любой физической величины представляет собой сумму двух составляющих:

• первая объективно отражает истинное значение измеряемой физической величины;
• вторая - истинная погрешность конкретного результата измерения, несет в себе особенности данного конкретного измерения и изменяется от измерения к измерению.

Этот факт может быть представлен соотношением

где  λ_i  - результат i-ого измерения;

       L - истинное значение измеряемой величины;     

       Δ_i - истинная погрешность i-ого результата измерения.

В результате измерения получают значение λ_i, а истинное значение измеряемой величины L, также как и истинная погрешность результата измерения Δ_i остаются неизвестными.

Таким образом, истинная погрешность Δ_i есть разность  между результатом измерения λ_i и истинным значением L измеренной физической величины

По той же формуле (5.41) может быть вычислена действительная погрешность, если известно не истинное, а действительное значение измеряемой величины.

Одной из основных задач теории погрешностей результатов измерений является изучение источников и характера погрешностей измерений. Возможны различные подходы к построению модели погрешности измерений. Рассмотрим, так называемую, аддитивную (суммарную) модель построения погрешности измерения. Суть ее заключается в том, что полная погрешность результата измерения представляет собой сумму, так называемых, элементарных погрешностей.

 При этом каждый из факторов, составляющих процесс измерений, порождает  свою группу элементарных погрешностей. Изучая элементарные погрешности отдельных факторов, мы приходим к выводу о неизбежности возникновения  погрешности измерения.

1. Элементарные погрешности объекта измерений связаны с неопределенностью самого объекта измерений и его изменчивостью в процессе самого измерения. Объекты геодезических измерений ограничены физическими "точками", "прямыми", "плоскостями" и определить их "абсолютные" геометрические границы не представляется возможным. Неопределенность границ объекта измерения является одной из причин расхождений в результатах повторных измерений, ибо в каждом отдельном измерении исполнитель по иному оценивает границу объекта.

Поскольку, "все течет, все изменяется", не остаются неизменными и объекты измерения. Эти изменения неизбежно отражаются в результатах повторных измерений.

2. Элементарные погрешности субъекта измерения связаны с ограниченными возможностями органов чувств наблюдателя. Широко известно геодезистам понятие "критический угол зрения", т.е. минимальный угол, под которым две точки с расстояния наилучшего зрения (30-35 сантиметров) видны как не сливающиеся. Подобные "критические" пороги присущи всем другим органам чувств человека, что не может не оказывать влияние на процесс измерения и не сказываться на его результатах.

3. Погрешности средств измерений обусловлены погрешностями изготовления, установки, настройки и функционирования мерного прибора и возникают в связи с:

а) несоблюдением необходимых для данного прибора геометрических условий, таких как перпендикулярность или параллельность осей и прочее;

б) наличием механических особенностей сочленения отдельных узлов прибора, таких как люфт, трение, деформации, вибрации и другое;

в) несовершенством оптики, наличием аберрации, ограниченной разрешающей способностью и прочее;

г) несовершенством в работе электронных узлов приборов, таких как "задержки" сигналов в цепях, возникновение "шумов" и прочее.

Список источников приборных погрешностей может быть значительно расширен, в том числе и за счет упрощения модели прибора по отношению к тем математическим соотношениям, которые определяют данную схему измерений.

4. Методические погрешности обычно связаны с ограничениями, накладываемыми на процесс измерения различными техническими инструкциями, определяющими процесс измерения. В любых инструкциях всегда задается некоторый предел возможных  отклонений от теоретических положений, определяемых  исходными математическими соотношениями.

5. Погрешности, порождаемые внешней средой,  связаны с постоянным изменением внешней среды, как во времени, так и в пространстве, и ее влиянием на процесс измерения. Это, прежде всего, различного рода рефракции, влияющие на прохождение оптических лучей; "шумовые" помехи, накладывающиеся на электромагнитные сигналы измерительных приборов при их прохождении через ионосферу, стратосферу и атмосферу и прочее. Кроме того, внешняя среда оказывает определенное воздействие на технические средства измерения, тем самым меняет их характеристики и порождает новые приборные погрешности. Внешняя среда, воздействуя на исполнителя, также определенным образом меняет "личные" ошибки наблюдателя.

Такой подход к строению погрешности результата измерения является вполне оправданным с точки зрения практики измерений.

5.13.2 Числовые характеристики точности измерений.

Пусть в одних и тех же условиях получен ряд результатов измерений одной величины λ₁,λ₂...,λ_n. Каждый из результатов измерений имеет свою истинную погрешность Δ_i. Однако, необходимо подобрать в качестве характеристики точности такую, которая определяла особенности измерений, выполняемых в данных, конкретных условиях измерений.

Для характеристики точности измерений, соответствующую определенным условиям измерений, в  геодезической практике используют среднеквадратическую погрешность (СКП), вычисляемую по формуле:

где [ ]- символ суммы, введенный Гауссом, означающий суммирование однородных элементов, отличающихся изменяющимися от 1 до n индек­сами. Символ Гаусса эквивалентен символу  где n- количество суммируемых величин. Для приведенной формулы в соответствии с правилом раскрытия символа Гаусса имеем:  [Δ²]=Δ₁²+Δ₂²+...+Δ_n².

Рассмотрим рис. 5.47.

Здесь Δ_i истинная погрешность i-ого результата измерения.

 На базе каждой погрешности строится квадрат, а затем определяется  и  строится средний по площади квадрат (он заштрихован). Сторона этого квадрата и есть СКП данного ряда измерений. Следовательно, СКП не есть погрешность какого - то конкретного измерения. СКП характеризует точность целого класса измерений, проводимых в одних и тех же условиях.

Рис.5.47. Схема образования средней квадратической погрешности

Среднеквадратическую погрешность (5.42) обычно вычисляют по ограниченному количеству истинных погрешностей. Если в одних и тех же условиях проделать серию измерений, в каждой из которых получить по  n  истинных погрешностей и для каждой серии вычислить по формуле (5.42) значение СКП, то все они будут несколько отличаться друг от друга за счет случайных погрешностей результатов измерений. В таком случае можно говорить о погрешности самой СКП, т.е. о величине m_m, которая может быть вычислена по формуле:

Эту величину называют оценкой надежности значений СКП

Из (5.43) вытекает, что чем больше истинных погрешностей, полученных в одинаковых условиях,  участвует в вычислении СКП, тем точнее получаем значение СКП. Погрешность СКП обычно вычисляют для правильного округления значения СКП.

Пример:

СКП измерения угла, полученное из 10 измерений оказалось равным 9,234". Оценить надежность вычисления СКП и правильно округлить.

Решение:

По формуле (5.3) получаем Из этого следует, что СКП измерения угла имеет погрешность в значении целых секунд. Следовательно, нет никакой необходимости удерживать в значении СКП угла десятые и прочие доли секунд. Таким образом, окончательное значение m_β=9″.

Зная СКП измерения, можно вычислить предельную погрешность по формуле: Δ_пред=tm,

 где t-коэффициент, задаваемый техническими инструкциями. Обычно его принимают равным t=2,5 или t=3.

Погрешность любого измерения по абсолютной величине, проводимого в этих условиях, с определенной, весьма высокой  вероятностью не превзойдет величины предельной погрешности, т.е. практически всегда будет выполняться неравенство | ∆_i| ≤ Δ_пред.

Если же выполняется неравенство противоположного смысла, т.е. | ∆_i| > Δ_пред (истинная погрешность превышает предельную), можно делать вывод, что в измерениях имеет место грубая погрешность. Таким образом, под грубой погрешностью будем понимать любую погрешность, по абсолютной величине превосходящей предельную погрешность. В этом случае такое измерение необходимо провести заново. 

В геодезической практике понятие «предельная погрешность» используется для получения, так называемых, допустимых погрешностей (допусков). Примеры установления допусков будут приведены далее.

5.13.3. Оценка точности результатов измерений по истинным (действительным) погрешностям.

Пусть имеется ряд результатов измерений λ₁,λ₂...,λ_n одной физической величины, полученных в одинаковых условиях (равноточные измерения). Истинное (действительное) значение этой величины известно и равно L. Необходимо определить числовые характеристики точности измерений данного класса.

Для решения поставленной задачи необходимо получить ряд Δ₁,Δ₂,...,Δ_n истинных (действительных)  погрешностей результатов измерений. Если известно истинное значение измеряемой величины, а также задан ряд результатов измерений, то по формуле (5.41) можно   В этом случае в качестве характеристики точности применяют формулу среднеквадратической погрешности (5.42), оценку надежности ее значения вычисляют по формуле (5.43) и предельную погрешность - по формуле (5.44)

Пример:

 Линия измерена пять раз. При этом получены результаты: 217,24; 217,31; 217,28; 217,23; 217,20 м. Эта же линия измерена более совершенными методами измерения, что дало результат 217,216 м, который принят за действительное. Найти среднеквадратическую погрешность измерения линии. Произвести правильное округление СКП. Вычислить предельную погрешность и проверить, имеются ли в ряду измерений грубые погрешности

Решение:

Все расчеты сведены в таблицу.

Среднеквадратическая погрешность равна

Оценка надежности среднеквадратической погрешности равна

Из последнего следует, что величине т следует оставлять только одну значащую цифру, то есть среднеквадратическая погрешность одного измерения линии равна т = 5 см. Предельная погрешность равна ∆_пред=3m=15см. Можно утверждать, что в данном ряду измерений нет грубых погрешностей, т.к. все погрешности по абсолютной величине меньше предельной погрешности.

Вопросы и задачи для самопроверки.

1.Что характеризует среднеквадратическая погрешность (СКП) результата измерения?

2.По какой формуле вычисляют СКП измерений?

3.Что характеризует среднеквадратическая погрешность среднеквадратической погрешности и для чего она вычисляется?

4.Как вычисляется предельная погрешность результатов измерений?

5.Что такое грубая погрешность?

6.Как выявить грубую погрешность?

7.Как вычисляется истинная погрешность результата измерений

8.В чем заключается сущность аддитивной гипотезы строения полной погрешности результата измерения?

9.Приведите примеры элементарных погрешностей, порождаемых каждым фактором измерения.

10.Почему мы можем утверждать, что любой результат измерения содержит погрешность?

11.Что характеризует среднеквадратическая погрешность среднеквадратической погрешности и для чего она вычисляется?

12.Напишите формулы, по которым производят оценку точности по истинным (действительным) погрешностям.

13.Расстояние между точками   и  было определено с применением высокоточных приборов и оказалось равным 112,847 м. Кроме того, это расстояние многократно определялось прибором технического класса точности, что дало результаты: 112,87, 112,84, 112,83, 112,86, 112,83, 112,86. Найти среднеквадратическую и предельную погрешности определения расстояний, определяемое прибором технической точности.

14.При измерении величины, действительное значение которой известно, был получен ряд погрешностей: + 6; - 8; - 4; - 13; + 7; + 2; 0; + 5; + 4; - 3. Найти среднеквадратическую и предельную погрешности заданного класса измерений.