6. Геодезические съёмки.

 6.4. Сгущение съёмочной сети методом засечек.

 Прямая угловая засечка.  Сущность прямой засечки состоит в определении координат третьего пункта по координатам двух исходных пунктов и двум измеренным примычным углам, обеспечивающим передачу дирекционного угла с направления исходного пункта на определяемый.

Известны координаты двух точек А и В (X_A;Y_A) и (X_B;Y_B), а также известны дирекционные углы направлений, исходящих из этих точек α_AQ и α_BF (Рис.6.4.).

Рис. 6.4. Определение координат точки методом прямой (угловой) засечки.

На местности измеряют углы β₁ при точке А и β₂ при точке В. Вычисляют дирекционные углы α_AP=α_AQ±180º+β₁ и α_BP=α_BF±180º-β₂.  По формулам (6.1) и (6.2) вычисляют приращения координат, а затем  координаты точки Р.

Приращения координат по оси ординат получаем по формулам

Затем получаем дважды координаты искомой точки Р.

Погрешность положения определяемого пункта относительно исходных  пунктов получают из соотношения

(6.15)

где m_β - СКП измерения угла;

       γ - угол при засечке;

      S_1, S₂ - расстояния от исходных точек до определяемой.

Прямая линейная засечка. Сущность линейной засечки состоит в определении координат третьей точки по координатам двух исходных точек и по двум расстояниям от исходных до определяемой.

Решение задачи с точки зрения геометрии сводится к нахождению координат точки пересечения двух окружностей. Эта задача рассмотрена в п. 2.4. «Вычисление координат точек пересечения двух окружностей». Напомним порядок решения этой задачи:  

Рис.6.5. Определение координат точек пересечения двух окружностей.

1.     Вычисляем отрезки АК и КВ:

                   (6.16)

                   (6.17)

Контроль вычисления AK+BK=AB. Длину линии АВ получаем из решения обратной геодезической задачи.

2.      Вычисляем углы β_A  и β_B:

                      (6.18)

                       (6.19)

3.     Вычисляем дирекционные углы α_AQ,α_AF,α_BQ и α_BF:

Дирекционный угол α_AB направления АВ получим из решения обратной геодезической задачи  по известным координатам точек А и В.

4.     Далее вычисляем приращения координат

    (6.21)

5. Вычисляем с контролем координаты точек Q и F.

   (6.22)

6. Погрешность положения определяемого пункта относительно исходных может быть рассчитана по формуле:

                 (6.23) 

где m_S-СКП измерения линии;

       γ-угол при засечке.

Пример решения прямой линейной засечки

Имеются две точки с известными координатами:                             

А (x_A=11371,17; y_A=8552,42) и В (x_B=9946,57; y_B=7696,97). От этих точек измерены расстояния до точки Q: S_A=2121,64м и S_B=1793,76м. Необходимо вычислить координаты точки Q, если известно, что точка Q расположена влево от направления АВ.

Решение:

1.       Строим схему расположения точек.

Рис.6.7. Схема расположения точек к задаче по прямой линейной засечке.

2 .Решаем обратную геодезическую задачу по направлению АВ.

3. Вычисляем вспомогательные отрезки АК и ВК

4.Вычисляем вспомогательные углы

5. Вычисляем  дирекционные углы направлений AQ и BQ

6. Вычисляем координаты искомой точки

7. Вычисляем СКП положения искомой точки относительно исходных пунктов

где m_S²-СКП измерения линий;

sinγ=sin(180⁰-β_A-β_B)=sin(β_A+β_B).

Принимая, что линии измерены светодальномером с СКП m_S=0,01м, получим:

Вопросы и задачи для самопроверки.

1.      Что называют прямой линейной засечкой?

2.      Что измеряют при определении координат третьей точки методом прямой линейной  засечки?

3.      Возможны ли варианты, при которых координаты третьей точки не могут быть определены методом прямой линейной засечки?

4.      Что контролирует повторное вычисление координат определяемой точки?

5.      Координаты определяемой точки можно вычислить дважды. Можно ли утверждать, что этот контроль выявит грубые погрешности в измерении расстояний и почему это так?

6.      Точки А и В имеют соответственно координаты  и . Измерены расстояния  и . Вычислить без калькулятора координаты точки Р, лежащей левее направления АВ.

7.Вычислить координаты точки Р, лежащей правее направления АВ при условии, что точки А и В имеют координаты  и , а измеренные расстояния равны .

Обратная угловая засечка. Сущность обратной засечки заключается в определении координат четвертого пункта по координатам трех исходных пунктов и двум углам, измеренным на определяемом пункте.

Рис. 6.8. Определение координат точки методом обратной угловой засечки.

Для тангенса дирекционных углов направления ВР и СР можно записать:

Перенеся начало координат в точку А, получим координаты исходных и определяемой точки в новой системе координат:

X′_A=0,Y′_A=0; X′_B=X_B-X_A,Y′_B=Y_B-Y_A; X′_C=X_C-X_A,Y′_C=Y_C-Y_A; X′=X_P-X_A,Y′=Y_P-Y_A.

Введем обозначения:   

Тогда тангенсы дирекционных углов могут быть записаны в виде:

После преобразований имеем:

Введем обозначения:

Получаем систему двух уравнений

Откуда следует, что

И окончательно

где все k_i выражаются через известные величины.

Тогда   X_p=X '; Y_p=Y_A+Y ' .             

Погрешность положения определяемого пункта относительно исходных может быть рассчитана по формуле

              (6.24)

При решении данной задачи опасным является случай, когда все четыре точки лежат на одной окружности.   В этом случае  ÐABC+γ₂=180º, а синус этого угла равен нулю. Следовательно, погрешность положения определяемой точки стремится к бесконечности, т.е. задача не имеет решения.