2. Решение некоторых геодезических задач на  плоскости.   

2.4. Вычисление координат точек пересечения двух окружностей.  

Пусть заданы две окружности своими уравнениями: (X-X_A)²+(Y-Y_A)²=S²_A ; (X-X_B)²+(Y-Y_B)²=S²_B. При этом точка А с координатами (X_A;Y_A) есть центр первой окружности, а S_A-радиус этой окружности. Соответственно точка В с координатами (X_B;Y_B) - центр второй окружности, а S_B-радиус второй окружности.

Определение координат точек пересечения этих окружностей (а их в общем случае две) можно получить решением представленных уравнений. Однако, с точки зрения вычислительной, такой метод решения является достаточно трудоемким. В связи с этим воспользуемся несколько иным приемом и будем вычислять не координаты искомых точек, а приращения координат относительно центров заданных окружностей.

Рассмотрим внимательно рис. 2.3. Для определения координат т. Q необходимо знать дирекционный угол направления AQ и расстояние между этими точками А и Q. Решая прямую геодезическую задачу, мы можем найти координаты точки Q. 

Расстояние от точки А до точки Q известно - это радиус первой окружности S_A.   Дирекционный угол направления  AQ  может быть вычислен по формуле

α_AQ=α_AB-β_A (2.13) 

Если искомая точка Q находится СЛЕВА от исходного направления АВ, то дирекционный угол получают как РАЗНОСТЬ;

Если искомая точка F находится СПРАВА от исходного направления АВ, то дирекционный угол получают как СУММУ.

Второе правило мы будем использовать при нахождении дирекционного угла направления AF:.

α_AF=α_AB+β_A (2.14)

Дирекционный угол α_AB направления АВ получим из решения обратной геодезической задачи по известным координатам точек А и В. Остается решить вопрос относительно вычисления угла β_A.

Аналогичные рассуждения мы можем провести по поводу вычисления приращений координат по линиям BQ и BF. Длины линий BQ и BF равны радиусу второй окружности S_B, а дирекционные углы этих направлений могут быть вычислены по формулам:

α_BA=α_BA+β_B; (2.15)

α_BF=α_BA-β_B. (2.16)

Рис.2.3. Определение координат точек пересечения двух окружностей.

Обратите внимание на знаки, с которыми угол  β_B  входит в эти формулы!

Вспомните, как вычислить дирекционный угол α_BA, если известен дирекционный угол α_AB.

Здесь также остается открытым вопрос о величине угла β_B.

Вычисление этих углов может быть осуществлено по формулам:

  (2.17)

(2.18)

Вспомните, почему треугольники AKQ и BKQ - прямоугольные!

Учитывая, что для указанных треугольников QK - общий катет, можем записать следующее равенство:

S²_A-AK²=S²_B-BK².

Приписав к последнему равенству очевидное равенство

AK+BK=AB,

получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Решив эту систему (решение выполнить самостоятельно), получим

(2.19)

(2.20)

Контроль вычислений можно осуществить по формуле AK+BK=AB.

Применяя формулы (2.17) и (2.18), вычисляем вспомогательные углы βи β_B. Затем по формулам (2.14) - (2.16) вычисляем дирекционные углы направлений AQ, AF, BQ и BF. Далее по формулам

вычисляем приращения координат и с контролем координаты точек Q и F.

 Пример определения координат точек пересечения двух окружностей.

Имеются две точки с известными координатами:                             

А (X_A=11371,17; Y_A=8552,42) и В (X_B=9946,57; Y_B=7696,97). От этих точек измерены расстояния до точки Q: S_A=2121,64м и S_B=1793,76м. Необходимо вычислить координаты точки Q, если известно, что точка Q расположена влево от направления АВ.

Решение

1. Строим схему расположения точек (Рис. 2.4.).

Рис.2.4. Схема расположения точек к задаче нахождения координат точки пересечения двух окружностей.

2 .Решаем обратную геодезическую задачу по направлению АВ.

3.  Вычисляем вспомогательные отрезки АК и ВК

 4.Вычисляем вспомогательные углы

 5.Вычисляем дирекционные углы направлений AQ и BQ

6. Вычисляем  координаты искомой точки