2. Решение некоторых геодезических задач на  плоскости.

2.1. Прямая геодезическая задача. Полярный метод определения координат точки.

Прямая геодезическая задача состоит в том, что по известным (исходным) координатам начального пункта A(X_A,Y_A) линии AP, дирекционному углу этой линии ɑ_AP и ее горизонтальному проложению S_AP вычисляют координаты конечной точки  P(X_p, Y_p)  (Рис. 2.1.).  

Рис. 2.1. Прямая геодезическая задача.

 Как видно из приведенного рисунка, для решения этой задачи необходимо вычислить приращения координат данной линии, т.е. проекции горизонтального проложения этой линии на оси прямоугольной системы координат. Приращения координат вычисляют по формулам:

ΔX_AP=S_APcosα_AP;

ΔY_AP=S_APsin_AP. (2.1)

Тогда координаты конечной точки получают по формулам:

ΔX_P=X_A+ΔX_AP;

ΔY_P=Y_A+ΔY_AP. (2.2)

Указания. При решении прямой геодезической задачи следует обращать внимание на знаки тригонометрических функций при вычислениях приращений координат. 

Пример решения прямой геодезической задачи:

Точка А имеет координаты: X_A=1254,27 м  Y_A=458,27. Линия АВ имеет дирекционный угол  ɑ_AB=123° 24,3' и длину S_AB=215,47 м. Вычислить координаты точки В.

Решение.

Отметим, что линия АВ направлена во вторую четверть и, следовательно, косинус имеет знак минус, а синус – знак плюс. Таким образом, приращение ΔX<0 ΔY<0. Проводим вычисление приращений координат: ΔX = -158,62 м  и  ΔY = +145,83 м. Тогда координаты точки В равны: X_В= 1095,65 м и Y_В= 604,10 м.

Задачи для устного решения.

1. Точка А имеет координаты: X_A = 200,00 м Y_A = 200,00 м. Линия АВ имеет длину S_AB=100,00 м. Вычислить координаты точки В, если:

1.1. ɑ_AB=0°; 1.2. ɑ_AB=90°; 1.3. ɑ_AB=180°; 1.4. ɑ_AB=270°.

2. Точка А имеет координаты: X_A = 200,00 м Y_A = 200,00 м. Линия АВ имеет длину S_AB=100,00 м>. Вычислить координаты точки В, если:

2.1. ɑ_AB=45°; 2.2.ɑ_AB=135°; 2.3.ɑ_AB=225°; 2.4.ɑ_AB=315°;

Задачи для решения с калькулятором.

1. Точка А имеет координаты X_A = 2745,76; Y_A = 3860,27. Линия АР имеет дирекционный угол ɑ_AB= 217° 31' 18'', а ее длина S_AP = 409,27 м. Вычислить координаты точки Р.

2. Точка местности А имеет координаты X_A = 4745,15; Y_{A =} 2169,71. Из этой точки исходит направление АВ, дирекционный угол которого ɑ_AB = 301° 44,5'. На местности измерены угол <BAP = β_A= 177° 14,2' и расстояние S_AP = 309,27 м. Вычислить координаты точки Р.